べそをかく，
なきべそをかく，
の「べそ」は，
こどもなどの泣き顔，
とある（『広辞苑第5版』）。『大言海』には，
「べし（壓）の轉か」
とあり，
小児の泣き顔になること，
の意と共に，
壓口（べしくち）をつくること，
の意が載る。「俚言集覧」には，
「へし口とは，口を壓へつくること也。能の面に大壓（オホヘシ）あり，口を結びたるを云，小児泣かんとする時の面つきを，ベソを作ると云ふも是也」
とある。
押し合いへし合い，
の「へし（圧）」という説である。
へしぐち（壓し口），
という言葉があり，
不興にて，強いて口をへの字に噤みて居ること，
とある（『大言海』）。
能面に，「小べし見」というのがあり，荒々しい力を宿す恐ろしい神を表した鬼神の面の１つで，「べし見」は、口を強くつぐむことを「へしむ」と言ったことに由来するとある（http://hikone-castle-museum.jp/cms/wp-content/uploads/2018/08/ca9fee3afa90d79ee664ce7abb9a33b5.pdf）。
『岩波古語辞典』には，
べしめん（壓面），
が載り，
べし口の表情の面，
とある。
（能面「小べし見」 鬼神の面の１つ。「べし見」は口を強くつぐむことを「へしむ」と言ったことに由来する。http://hikone-castle-museum.jp/cms/wp-content/uploads/2018/08/ca9fee3afa90d79ee664ce7abb9a33b5.pdfより）
「べそ」が，
ベシクチ（圧口）の轉（嬉遊笑覧・松屋筆記），
ベシ（圧）の転か（大言海），
ベレクチの訛。また口をへの字形にして泣くところから（ことばの事典＝日置昌一），
という子供の泣き顔から来たのか，
能面のベシミ（圧面）の口のように口を結んでいるのをベシということから（俚言集覧），
の二説のいずれか，ということのようである。他に，
「べそ」 は 「めっそう（滅相）」 が転訛したもの，
という説もあるらしい（https://mobility-8074.at.webry.info/201501/article_6.html）が語呂合わせに思える。普通に考えれば，顔の形から来て，それをなぞって面が出来たということだろう。
「『へしくち』の『へし』と『べしみ』の『べし』は同源で，への字に曲げることを表しているため，これらの説を別物として扱う必要はない」
と『語源由来辞典』（http://gogen-allguide.com/na/nakibesowokaku.html）であろう。方言に，
「『押す』ことを『おっぺす』と言うところがあります。この『ぺす』は『へす（圧す）』であり、強く押さえるという意味です。泣き出すときに口をゆがめるのが、口を押さえつけたようであることから『へし口』という言葉ができ、泣き出しそうになることを『へし口を作る』というようになって、『へし口を掻く（表現する・・・の意）』に転じ、『べそをかく』に変化したようです。」
という（https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q109875995）のが妥当である。ちなみに，「べそをかく」の「かく」は，
「漢字では『掻く』と書く。『掻く』は爪などで表面をこするという動作から，『事をなす』という意味でも使用し，『汗をかく』『いびきをかく』『恥をかく』など，好ましくないものを表面に出す表現で多く使われる」
とする（http://gogen-allguide.com/na/nakibesowokaku.html）。
「書く（http://ppnetwork.seesaa.net/article/456827888.html）で触れたように，「掻く」は「書く」と同源で，
「爪を立て物の表面に食い込ませてひっかいたり，絃に爪の先をひっかけて弾いたりする意。『懸き』と起源的に同一。動作の類似から，後に『書き』の意に用いる」
とあり（『岩波古語辞典』），「懸き」も，
「物の端を対象の一点にくっつけ，そこに食い込ませて，その物の重みを委ねる意。『掻き』と起源的に同一。『掻き』との意味上の分岐に伴って，四段活用から下二段活用『懸け』に移った。既に奈良時代に，四段・下二段の併用がある。」
としている。つまり，「書く」も「掻く」も「懸く」も「掛く」も「舁く」も「かく」で，幅広く動作を表現しており，
「好ましくないものを表面に出す表現」と強いていう必要はなく，「掻く」の，
「手を動かして目につく動作をする」
意から転じて，
「動作などが外に大きく現れる」
意の流れで，「鼾をかく」「恥をかく」と，たとえば「胡坐をかく」という動作になぞらえた表現とみていい。
参考文献；
大野晋・佐竹 昭広・ 前田金五郎編『古語辞典 補訂版』（岩波書店）
大槻文彦『大言海』（冨山房）
前田富祺編『日本語源大辞典』 （小学館）
ホームページ；
http://ppnetwork.c.ooco.jp/index.htm
コトバの辞典；
http://ppnetwork.c.ooco.jp/kotoba.htm#%E7%9B%AE%E6%AC%A1
スキル事典；
http://ppnetwork.c.ooco.jp/skill.htm#%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%AB%E4%BA%8B%E5%85%B8
書評
http://ppnetwork.c.ooco.jp/critic3.htm#%E6%9B%B8%E8%A9%95
