「あごえ」は、
けずめ（蹴爪）、
の古名である。ただ、
あごえ（岩波古語辞典・広辞苑）、
あこえ（大言海）、
と、訓みに清濁の差がある。
大（おほ）きなる雄鶏を以て、呼びて己が鶏と為て、鈴、金の距（アコエ）を着けて、競ひて闘は令む（雄略紀）、
と、
距、
と当てる（広辞苑）。奈良時代末の成立の『八十巻華厳経音義』（新訳華厳経音義私記）には、
所拒、安後延（あごえ）、
とある（岩波古語辞典）が、平安後期の漢和辞書『字鏡』（じきょう）には、
距、足角也、阿古江、
和名類聚抄（平安中期）には、
距、鶏雉脛、有岐（また）也、阿古江、
類聚名義抄（11～12世紀）には、
距、アコエ、コユ、
とある（大言海）。
アは足、コエは蹴るの意のコユの名詞形、
とあり（岩波古語辞典・大言海）、
足掻（あしかき）、あがく、
同趣の転訛とみられる（大言海）。「あ」は、
足、
で、
足（あ）の音せず行かむ駒かもが葛飾（かつしか）の真間（まま）の継橋（つぎはし）やまず通はむ（万葉集）、
と使われるが、
足占（あうら）、足結（あゆい）など、多く下に他の語を伴って複合語をつくる、
とある。
足掻く、
などもそれだろう。「こゆ」は、
蹴、
と当て、
越ゆと同根、足の先を上げるのが原義、
とある（大言海）、「越ゆ」は、
コユ（蹴）と同根、目的物との間にある障害物をまたいで、一気に通り過ぎる意、
ともある（岩波古語辞典）が、類聚名義抄（11～12世紀）には、
蹴、化（け）ル、クユ、コユ、
とあり（仝上）、
蹴（く）ゆ、蹴（け）るに同じ、
とある（大言海）。「くゆ（蹴）」は、
けるの古語、
とあり、
くう（蹴）の転（移（うつ）る、ゆつる）、又、転じて、コユとなる（黄金（こがね）、くがね。いづく、いずこ）、
とある（仝上）。「くう（蹴）」は、
クユル、コユルと転じ、口語調に、クヱル、クエルとなり、また約まりて、ケルとなる（大言海）、
クヱル（蹴）の語は、クヱ[k (uw)e]の縮約でける（蹴る）という下一段動詞になった（日本語の語源）、
とある（仝上）。古形、
くゆ、
が、
け（蹴）、
に転じたようだが、
ケ（蹴）の古形コユとクユとが平安時代に混交したものか、
とある（岩波古語辞典）。つまり、
（くう→）くゆ、こゆ→くゆる、こゆる→くゑる、くえる→ける、
といった転訛をしたことになるが、
帯刀どもして蹴させやましと思ひしかと（大鏡）、
殿上人、鞠けさせて御覧ずる（栄花物語）、
などと、
古形くゆ（蹴）の転（岩波古語辞典）、
古音くゑの約（大言海）、
である、
け（蹴）、
で使われる状態があり、「くゆ」からの転訛のどこかで、
く（ゆ）→け、
の転訛があり、「ける（蹴）」へと変化ししやすかったことになる。
「けづめ」は、
蹴爪、
距、
と当てるが、
キジやにわとりなどの脚のやや上部に後ろ向きに生えた鋭い突起、
であり、
ウシ・ウマなどの脚の後方にある小さい趾（あしゆび）で、地にふれないもの、
をも指す（広辞苑）。鳥の場合、
鳥類の趾では、第5趾が完全に退化しており、基本は4本の趾を持つ。第1趾が後方を向く形が多く、これは木の枝を掴む際に好都合な形状をしている、
とあり（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%BE_%28%E9%B3%A5%E9%A1%9E%29）、第1趾指す。
「距」（漢音キョ、呉音ゴ）は、
会意兼形声。巨（キョ）は、Ｉ型の定木にとってのついた姿を描いた象形文字で、上下の幅がＩの間隔だけあいていること。距は「足＋音符巨」で、他の四本の指との間がへだたったけづめ。転じて、両端の間がひろくあいていること、
とある（漢字源）。「距爪（キョソウ）」と、距の意であり、「距離」と隔ての意である。
（「距」 成り立ち https://okjiten.jp/kanji1143.htmlより）
別に、
形声文字です（足+巨）。「人の胴体の象形と立ち止まる足の象形」（「足」の意味）と「とってのあるさしがね」の象形（「さしがね、大きい」の意味だが、ここでは、「去（キョ）」に通じ(同じ読みを持つ「去」と同じ意味を持つようになって）、「しりぞける」の意味)から、「へだてる」、「距離を置く」を意味する「距」という漢字が成り立ちました、
とする解釈もある（https://okjiten.jp/kanji1143.html）。
参考文献；
大野晋・佐竹 昭広・ 前田金五郎編『古語辞典 補訂版』（岩波書店）
大槻文彦『大言海』(冨山房)
前田富祺編『日本語源大辞典』（小学館）
ホームページ；http://ppnetwork.c.ooco.jp/index.htm
コトバの辞典；http://ppnetwork.c.ooco.jp/kotoba.htm#%E7%9B%AE%E6%AC%A1
スキル事典；http://ppnetwork.c.ooco.jp/skill.htm#%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%AB%E4%BA%8B%E5%85%B8
書評；http://ppnetwork.c.ooco.jp/critic3.htm#%E6%9B%B8%E8%A9%95
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