只今の太政大臣の尻はけるとも、此の殿の牛飼にも触れてんや（「落窪物語（10Ｃ末）」）、
とある、
「ける」（カ行下一段活用）は、
蹴る、
と当てる（広辞苑）が、
蹶る、
とも当てる（大言海）。
「ける」の古形は、
帯刀どもして蹴させやましと思ひしかと（大鏡）、
殿上人、鞠けさせて御覧ずる（栄花物語）、
と、
け（蹴 カ行下一段活用）、
の形で使われるが、この「け」は、
馬（むま）の子や牛の子に蹴（く）ゑさせてむ踏み破（わ）らせてむ（「梁塵秘抄（1179頃）」）、
とある、
古形くゑ（蹴）の転（岩波古語辞典）、
古音くゑの約（大言海）、
であり、
若沫雪（あわゆき）以蹴散（くゑはらかす）、此、云、倶穢簸邏邏箇須（クヱハララカス）（日本書紀・神代紀）、
雷電霹靂、蹴裂（くゑさき）其磐、令通水（日本書紀・神功紀）、
と、
くう（蹴 ワ行下二段活用）、
に遡る（仝上）。
くう→くゑ→け、
と、古形「け」になったと思われるが、この「くう」は、
クユル、コユルと転じ、口語調に、クヱル、クエルとなり、また約まりて、ケルとなる（大言海）、
クヱル（蹴）の語は、クヱ[k (uw)e]の縮約でける（蹴る）という下一段動詞になった（日本語の語源）、
と、
くゑる（ワ行下一段活用）、
となるが、これは、
上代のワ行下二段活用「くう（蹴）」の未然・連用形「くゑ」が合拗音化して下一段活用の「くゑる」に変わり（その前に「くゑる」の語形を推定する考えもある）、さらにそれが直音化して「ける」になったものと推測される。ただし「くゑる」を本来の語形として、上代より下一段動詞であったとする説もある、
とあり（精選版日本国語大辞典・日本語源大辞典）、さらに、「ける」の古語には、
毬（まり）打（クユル）（別訓 くうる）侶（ともがら）に預（くはは）りて（日本書紀・皇極紀）、
と、
くゆ（蹴 ヤ行下二段活用）、
もあり、
くう（蹴）の転（移（うつ）る、ゆつる）、又、転じて、コユとなる（黄金（こがね）、くがね。いづく、いずこ）、
とある（大言海）ので、
くう→くゑ→け、
の転訛とは別に、
くう→くゆ→くゆる→くゑる→くゑる→ける、
という転訛もあったことになる。
しかも、蹴爪（けづめ）の古語「あごゆ」（http://ppnetwork.seesaa.net/article/484128942.html）で触れたように、「ける」の転訛の系譜には、もう一つあって、類聚名義抄（11～12世紀）に、
蹴、化（け）ル、クユ、コユ、
とある、「くゆ」とは別の、
こゆ（蹴 ヤ行下二段活用）、
がある。蹴爪（けづめ）の古語「あごえ」は、
アは足、コエは蹴るの意のコユの名詞形、
であり（岩波古語辞典・大言海）、
「こゆ」は、
蹴、
と当て、
越ゆと同根、足の先を上げるのが原義、
とある（大言海）、「越ゆ」は、
コユ（蹴）と同根、目的物との間にある障害物をまたいで、一気に通り過ぎる意、
ともある（岩波古語辞典）。だから、「くう」は、
ケ（蹴）の古形コユとクユとが平安時代に混交したものか、
とする見方もある（岩波古語辞典）。字鏡（平安後期頃）に、
蹢、萬利古由、
蹹、古由、
天治字鏡（平安中期）に、
蹴然、豆萬己江、（爪蹴 つまこえ）、
和名類聚抄（平安中期）に、
蹴鞠、末利古由、
とある。つまり、「くう」が、混交の結果なのか、古形のひとつなのかは別として、「ける」に至るには、
くゆ形の転訛、
と、
こゆ系の転訛、
があり、
（くう→）くゆ、こゆ→くゆる、こゆる→くゑる、くえる→ける、
といった二系統の転訛を経てきたことになる。
これは、「くゆ」が、
毬（まり）打（クユル）（別訓 くうる）侶（ともがら）に預（くはは）りて（日本書紀・皇極紀）、
と、
脚の爪先で物を突きやる、
意なのに対して、
「こゆ」が、「越え」と同源のゆえに、
脚の指をもちて地を蹴（コエ）て、足を壊（こわ）りつ（「小川本願経四分律平安初期点（810頃）」）、
と
足の先を上げるのが原義、
とあり（岩波古語辞典）、原点は微妙に違ったのかもしれないが、平安後期の漢和辞書『字鏡』（じきょう）には、
距、足角也、阿古江、
和名類聚抄（平安中期）には、
距、鶏雉脛、有岐（また）也、阿古江、
類聚名義抄（11～12世紀）には、
距、アコエ、コユ、
とあるように（大言海）、「蹴爪」の意の「あごえ」では、
蹴る、
との意味の差は消えているように見える。
今日の「ける」は、ラ行五（四）段活用になっているが、江戸中期までは「けら」「けり」等の用例がみられないところから、四段活用の「ける」が登場するのは江戸時代後半からとみられている（日本語源大辞典・大辞林）。ただ、
現代語でも「け散らす」「け飛ばす」などの複合語には下一段活用が残存しており、命令形も「けれ」のほか「けろ」も用いられる、
し（デジタル大辞泉）、
「けたおす（蹴倒す）」「けちらす（蹴散らす）」など複合語、
にも、「け…」という古語の「け」の古形が残っている（大辞林）。ちなみに、「ける」のカ行下一段活用は、
未然形 け（蹴）・連用形 け（蹴）・終止形 け（蹴）る・連体形 け（蹴）る・已然形 け（蹴）れ・命令形け（蹴）よ、
となる。
「蹴」（慣用シュウ、漢音シュク、呉音スク）は、
会意兼形声。「足＋音符就（シュウ 間隔を詰める、近づく）」
とあり（漢字源）、「ける」意味だが、別に、
（「蹴」 小篆（説文解字・漢） https://ja.wiktionary.org/wiki/%E8%B9%B4より）
会意兼形声文字です（足＋就）。「胴体の象形と立ち止まる足の象形」（「足」の意味）と「丘の上に建つ家の象形と犬の象形」（高貴な（身分が高い）人の家に飼われた番犬のさまから、「つき従う・つける」の意味）から、ある物に足をつける事を意味し、そこから、「ける」、「ふむ」を意味する「蹴」という漢字が成り立ちました、
ともある（https://okjiten.jp/kanji1461.html）。
「蹶」（漢音ケツ・ケイ、呉音コチ・ケ）は、
会意兼形声。「足＋音符厥（ケツ くぼんでひっかかる）」。くぼみに足をひっかけてかばっとはねおきること、
とある（漢字源）。つまずく意で、「蹶起」というように「たつ」意もあるが、これを「ける」に当てたのは、呉音「け」の音からではないかと勘繰りたくなるほど、「蹴る」の意味はこの字にはない。
参考文献；
大野晋・佐竹 昭広・ 前田金五郎編『古語辞典 補訂版』（岩波書店）
大槻文彦『大言海』（冨山房）
前田富祺編『日本語源大辞典』（小学館）
ホームページ；http://ppnetwork.c.ooco.jp/index.htm
コトバの辞典；http://ppnetwork.c.ooco.jp/kotoba.htm#%E7%9B%AE%E6%AC%A1
スキル事典；http://ppnetwork.c.ooco.jp/skill.htm#%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%AB%E4%BA%8B%E5%85%B8
書評；http://ppnetwork.c.ooco.jp/critic3.htm#%E6%9B%B8%E8%A9%95
