「はと」は、
鳩、
鴿、
と当てる（広辞苑）。「鳩」は、
きじばと、
「鴿」は、
家鳩（いへばと）、
とある（字源）。字鏡（平安後期頃）には、
鴀、乳鳩、鳲鳩也、伊倍波止、
鴿、也萬波止、
とあるが、和名類聚抄（平安中期）には、
鳩、夜萬八止、
鴿、以倍八止、
ので、我が国で厳密に「鴿」と「鳩」を使い分けていたわけではないようだ。
家鳩は、
ドバト、
と称されるが、
カワラバトを改良したもので、室町時代から、
たうばと（塔鳩）、
安土桃山時代には、
だうばと（堂鳩）、
が使われ、
ドバト（土鳩）、
が登場するのは江戸時代である。ただ、日本語の
カワラバト・家鳩・塔鳩・堂鳩・土鳩・ドバト、
の間の線引きは曖昧とある（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AF%E3%83%A9%E3%83%90%E3%83%88）。
「はと」の語源は、
羽音を以て呼ぶか、はたはたとの略（大言海・本朝辞源＝宇田甘冥・日本語源＝賀茂百樹）、
ハ（羽）＋ト（音）、飛び立つときの羽音に特徴があるので（日本語源広辞典）、
ハタタク（羽叩）の義（名言通）、
と、羽音説か、
速鳥の義（釋日本紀）、ハト（羽迅）の義、その羽の迅速なことから（和訓栞）、
と、速さ説、あるいは、
鳴き声ハツウハツウから（松屋筆記）、
ハトッポーポーの義（日本語原学＝林甕臣）、
鳴き声から（音幻論=幸田露伴）、
ポーポーと鳴くところから、ボァー鳥の意か（国語溯原＝大矢徹）、
と、鳴き声説もある。
天だむ 軽の乙女 甚泣かば 人知りぬべし 波佐の山 波斗（鳩）の下泣きに泣く（古事記）、
とあるように、古くから「波斗」と呼ばれただけに、限定は難しそうである。
なお、「鳩」にまつわる諺も多い（日本国語大辞典）。
●鳩に三枝（さんし）の礼（れい）あり 子鳩は親鳩のとまっている枝より三枝下にとまって礼譲を守るということ。礼儀を重んずべきことのたとえにいう。「烏に反哺（はんぽ）の孝あり」の対。
●鳩の飼（か）い 口先で人をたぶらかして世渡りをする人。詐欺師やいかさま師などにいう。もと、山伏や占者のような恰好をして家々を回り、熊野の新宮・本宮の事を語っては、鳩の飼料と称して金をだまし取ったところからという。
●鳩の杖（http://ppnetwork.seesaa.net/article/493484722.html?1668369493） 頭部に鳩の形を刻みつけた架杖（かせづえ）。
●鳩を憎み豆を作らぬ 畑に豆をまけば鳩がそれをついばむので、それを憎んで豆を作らない意から、わずかな事にこだわって必要なことまでもしないために、自分にも世間にも損害を招くことのたとえにいう、
（「鴿」 説文解字・漢 https://ja.wiktionary.org/wiki/%E9%B4%BFより）
「鴿」（コウ）は、
形声。「鳥＋音符合」。こっこっという鳴き声をまねた擬声語、
とある（漢字源）。
漢字「鳩」については、「鳩の杖」（http://ppnetwork.seesaa.net/article/493484722.html?1668369493）で触れた。
参考文献；
大槻文彦『大言海』（冨山房）
前田富祺編『日本語源大辞典』（小学館）
藤堂明保他編『漢字源』（学習研究社）
ホームページ；http://ppnetwork.c.ooco.jp/index.htm
コトバの辞典；http://ppnetwork.c.ooco.jp/kotoba.htm#%E7%9B%AE%E6%AC%A1
スキル事典；http://ppnetwork.c.ooco.jp/skill.htm#%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%AB%E4%BA%8B%E5%85%B8
書評；http://ppnetwork.c.ooco.jp/critic3.htm#%E6%9B%B8%E8%A9%95
