2013年11月28日

フラクタル



ベノワ・B・マンデルブロ『フラクタリスト』を読む。

マンデルブロ集合の発明者(マンデルブロ自身は,発明ではなく,昔から存在したものの発見と言っているが),フラクタルの命名者である,ベノワ・B・マンデルブロの自伝である。本人は,最終校正直前に亡くなったが。

何しろその幅広い分野を渡り歩いた好奇心に驚かされ,そして,数学,言語,経済,フィナンシャルから物理学,天文学,数学まで多岐に渡る成果を残しているのも,また脅威だ。しかも,大学にではなく,IBM研究所に在籍したまま。

本人は,こう言う,

ケプラー的夢,

を追い続けたと。ケプラー的夢とは,次のようなものだ。

ケプラーは二つのものを結びつけたのだ。古代ギリシャの幾何学者が発見した楕円を,惑星運動には常に,変則が存在するという古代ギリシャの天文学者の誤解と結びつけたのだ。ケプラーは数学と天文学としいう二つの分野で自らの持つ知識を利用して,この惑星運動が変則ではないことを確かめた。変則と思われていたものは,じつは楕円軌道だった。このような発見をすることが,子ども時代の私の夢となった。

その夢を,マンデブロウは実現したことになる。その初めは,

語の出現頻度

であり,続いては,フィナンシャルでの,

相場価格変動,

であり,いずれも,著者の「ラフネス」と呼ぶ,「変則」の数学的解析である。結果として,それが,著者が,

フラクタル,

と名づけた領域にたどりつく。フラクタルとは部分と全体が互いに相似な図形である。で,昔読んだ,稲垣足穂が,星雲の渦巻きと蝸牛の渦巻きを対比させていたのを思い出す。

著者は言う。

二種類のフラクタルの区別に辿り着いた。フラクタルには,自己相似(海岸線のように,どの方向についても同じ割合で縮尺される図形)と自己アフィン(乱流のように,方向によって縮尺の割合が異なる図形)の二種類があるのだ。

と。そのフラクタル,とは,1975年に,著者が命名した。ラテン語の,

Fractus(割れた,砕けた)

から考え出した。面白いのは,

私の刺激を受けてあとに続く人たちを,言い表す言葉が必要になった場合には「フラクタリスト」という言葉の響きがよさそうだということもあらかじめ確認しておいた。

という発想だ。すでに,その重要性を,そのように予見できていたのだ。

有名な,マンデルブロ集合は,

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AD%E9%9B%86%E5%90%88

にあるように,さまざまな図形が見られるが,これを描くために使われるのは,

zn+1 = z2/n + c
z0 = 0

というシンプルな式だ。コンピュータで何度も繰り返して結果を平面上に表示すると,マンデルブロ集合が出現する。若い頃,数式を幾何学図形に置き換えて理解していた著者の才能の,見事な顕現と言えなくもない。

この図形の例として引き合いに出されるのが,カリフラワー。一株のカリフラワーをいくつかにわけると,小房は元のブロッコリーとそうじだが,小房は,更に小さな小房の集まりであることに気づく。さらにその小房は…と続く。

このマンデルブロ図形は,自然界だけではなく,絵画にも多く見られる。

https://www.google.co.jp/search?q=%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%A6&espv=210&es_sm=93&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=-P6OUorWBMjKlAXP_IHwBQ&ved=0CEYQsAQ&biw=1366&bih=666

マンデルブロの発想を見ていると,

既存の要素の組み合わせ,

という創造性の原則,もっというと,川喜多二郎が言う,

本来ばらばらで異質なものを意味あるように結びつける,

ということを思い出させる。彼は最後に,バーナード・ショーの言葉で自伝を締めくくった。

理性的な人間は,自分を世界に合わせる,
理性を欠く人間は,世界を自分に合わせる努力を続ける。
したがって,すべての進歩は理性を欠く人間にかかっているのだ。

と。


参考文献;
ベノワ・B・マンデルブロ『フラクタリスト』(早川書房)

今日のアイデア;
http://www.d1.dion.ne.jp/~ppnet/idea00.htm




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posted by Toshi at 05:51| Comment(4) | 数学 | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
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