「あめ」は，
雨，
と当てる。
（歌川広重『名所江戸百景』 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A8より）
「雨」（ウ）の字は，
「天から雨の降るさまを描いたもので，上から地表を覆ってふる雨のこと」
とある（『漢字源』）が，
https://okjiten.jp/kanji103.html
は，
「天の雲から水滴が滴(したた)り落ちる」
象形を描いてわかりやすい。『岩波古語辞典』は，
「アマ（天）と同根」
とする。『大言海』は，
「天水（アマミズ），アマミ，アメと約転したる語。東雅，雨『アメとは，天水也』。萬葉集に『妹が目（メ）を欲り』など云へるメは，目見（マミ）の約なり，…ツを略するば，出水（イズミズ），泉。水草，みくさの例あり。雨を，天津水（あまつみず）と云ひ，天水（てんすゐ）と云ふ。沖縄にて，アミ」
とある。
（移動する雨雲と雨筋 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A8より）
『語源由来辞典』
http://gogen-allguide.com/a/ame.html
の言う通り，
「雨は、古くから草木を潤す水神として考えられており、雨乞いの行事なども古くから存在する。『天』には『天つ神のいるところ』といった意味もあるため、雨の語源は、 上記『天』『天水』のいずれかであると考えられる。」
雨の語源は、大別すると、
「天（あめ）」の同源説
と
「天水（あまみづ）」の約転とする説
にわかれる。しかし，
http://www.7key.jp/data/language/etymology/a/ame2.html
に，
「雨が多く、水田や山林など生活に雨が大きく関係している日本では、古くから雨のことを草木を潤す水神として考えられた。雨が少い場合は、雨乞いなどの儀式が行われ、雨が降ることを祈られた。『天』には『天つ神のいるところ』との意味があり、そのため雨の語源と考えられている。」
とあるように，「天」そのものと見るか，その降らせる水にするかの違いで，両者にそれほどの差はない。
『日本語源広辞典』は，
「語源は，天（アメ，アマ）と共通の語源であろうという説が有力です。大言海は『アメ（天）+ミ（水）』説です。アマ（非常に広大な空間）から落ちてくる水が，雨なのです」
とまとめる。
アマミズ（天水）の約転（名語記・東雅・言元梯・名言通・和訓栞・大言海・国語の語根とその分類=大島正健）。
アメ（天）と同語（和句解・日本釈名・日本古語大辞典＝松岡静雄），
の二説が大勢だが，しかし，これ以外にも，
アム（浴）の転（嚶々筆語），
という説もある。
アマモレ（天降）の約（和訓集説），
は，天水と同じだろ。
因みに，「雨」が頭にくると，
「雨模様」 は，
「あまもよう」
と訓む。他にも，
「雨粒 (あまつぶ) 」 「雨脚 (あまあし) 」 「雨傘 (あまがさ) 」 「雨靴 (あまぐつ) 」 「雨垂れ (あまだれ) 」 「雨合羽 (あまがっぱ) 」 「雨蛙 (あまがえる) 」
等々。「あま」は，
あめ（雨），
の古形ではあるが，同時に，
アメ（天）の古形，
でもある。「あま（天）」の項で，『岩波古語辞典』には，
「『天つ』『天の』の形で他の語に冠する。アマは，何もないという意のソラ（空）とは異なり，奈良時代及びそれ以前には，天上にあるひとつの世界の意。天上で生活を営んでいると信じられた神々の住むところを指した。」
とある。とすると，
雨＝天，
ではなく，やはり，
天水，
と考えるのが妥当のように思える。
参考文献；
大野晋・佐竹 昭広・ 前田金五郎編『古語辞典 補訂版』（岩波書店）
大槻文彦『大言海』（冨山房）
前田富祺編『日本語源大辞典』 （小学館）
増井金典『日本語源広辞典』（ミネルヴァ書房）
ホームページ；
http://ppnetwork.c.ooco.jp/index.htm
コトバの辞典；
http://ppnetwork.c.ooco.jp/kotoba.htm#%E7%9B%AE%E6%AC%A1
スキル事典；
http://ppnetwork.c.ooco.jp/skill.htm#%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%AB%E4%BA%8B%E5%85%B8
書評
http://ppnetwork.c.ooco.jp/critic3.htm#%E6%9B%B8%E8%A9%95
