「餡」には、いくつかの意味がある。例えば、
ゆでた小豆・白小豆・白隠元・うずら豆・ささげなどに、砂糖をまぜて、更に煮て煉ったもの、
という漉し餡・粒餡・つぶし餡などの種類のある豆類の他、
サツマイモ、栗などを煮て砂糖を加えて練ったもの、
も含め、いわゆる「あんこ（餡子）」といわれるものの意味があり（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A4%A1）、
枝豆で作った豆打（ずんだ）、青豌豆（グリーンピース）で作った鶯餡（うぐいす餡）、
などもある（実用日本語表現辞典）。この他に、
（うぐいす餡 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A4%A1より）
饅頭や餅、中華点心の包子（餃子、焼売など）などの中に包み込むために調理した挽き肉、野菜などの具、
水またはだし汁に葛粉、片栗粉などのデンプン粉を加えて加熱しとろみをつけたもの。または、これに野菜や挽き肉などを加えたもの、
という意味、さらに、饅頭などから意味が広がったが、
中に包み込まれているもの、
という意味もある（広辞苑、https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A4%A1）。
（小豆餡（粒餡） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A4%A1より）
漢字「餡」（漢音カン、唐音アン、呉音ゲン）は、
会意兼形声。臽（カン）は、おしこめる、くぼめて中に入れるの意。餡はそれを音符とし、食を加えた字、
とある（漢字源）。本来、「餡」は、
中に包み込まれているもの、
つまり、
詰め物、
を意味し、
金銀の細工物などに、内部に銅など籠めたるものを、アンヅメと云ふ、贋金などにも云ふ、此の如くつくりたるを、外部の金銀に就きてはテンプラと云ふ、コロモをかけたりと云ふなり、
とあるいい方（大言海）は、詰め物の意である。
『字彙』では餅の中の肉餡を指し（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A4%A1）、
饅頭などの中にいれる肉や野菜など、
の意であった。「餡」の字には、日本語の「あんこ」の意味も、「葛餡」の意味も、ない。
日本へは聖徳太子の時代に中国から伝来したとされ、中国菓子で用いられる肉餡がその原形となっていると考えられている、
とある（仝上）。小豆を用いた小豆餡が開発されたのは鎌倉時代であるとされ、当初は塩餡であったが、安土桃山時代になって甘い餡が用いられるようになり、砂糖が用いられるようになったのは江戸時代中期からで高貴な身分に限られていた、
とされる（仝上）。餡には、
肉や野菜を用いる塩味系統、
と、
豆や芋などを用いる甘味系統、
があり、豆や芋を用いる餡も砂糖が普及するまでは、塩味のいわゆる塩餡であった、とある（仝上）。
「あん」は、
唐音、
とする（広辞苑）のが主流、大言海が、
餡（カン）の字の宋音、
とするのは、由来と関わる。
禅寺の調理より出たる語なるべし。鹽尻「餅、及び、饅頭の内に満つる物をアンと云ふ、餡の字なり、唐音はアンと云ふ、」、正字通「凡、米麪食物、坎（アナニシ）其中、實（ミタス）以雑味、曰餡」、支那にては多く肉類を入る、禅家にて、小豆に代へたるならむ、
とする。饅頭（http://ppnetwork.seesaa.net/article/473566185.html）で触れたように、
日本の饅頭の起源には二つの系統（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A5%85%E9%A0%AD）があり、ひとつは、
「臨済宗の僧龍山徳見が1349年（南朝：正平4年、北朝：貞和5年）に帰朝した際、その俗弟子として随伴してきた林浄因が伝えたとするものである。当初林は禅宗のお茶と食べる菓子として饅頭を用いる事を考えたものの、従来の饅頭は肉を入れるため、代わりに小豆を入れた饅頭を考案されたと言われている。その後、奈良の漢國神社の近くに住居して塩瀬という店を立てたことから、漢國神社内の林神社と呼ばれる饅頭の神社で、菓祖神として祀られている」
とあり、もうひとつの系統は、
「1241年（仁治2年）に南宋に渡り学を修めた円爾が福岡の博多でその製法を伝えたと言われる。円爾は辻堂（つじのどう）に臨済宗・承天寺を創建し博多の西、荒津山一帯を托鉢に回っていた際、いつも親切にしてくれていた茶屋の主人に饅頭の作り方を伝授したと言われる。このときに茶屋の主人に書いて与えた『御饅頭所』という看板が、今では東京・赤坂の虎屋黒川にある。奈良に伝わった饅頭はふくらし粉を使う『薬饅頭』で、博多の方は甘酒を使う『酒饅頭』とされる」
とあるが、いずれも禅宗と絡む。大言海は、
「元代の音、暦應四年、元人、林浄因建仁寺第三十五世、徳見龍山禅師に従ひて帰化し、南都にて作り始むと」
と前者を採る。
「南都の饅頭屋宗二は、先祖は唐人なり、日本に饅頭といふ物を将来せし開山なり」
と、江戸前期の見聞愚案記にもある、と。たべもの語源辞典もまた、前者を採り、
「南北朝時代の初期興国年間（1340～46）、京都建仁寺の三五世徳見龍山禅師が、留学を終えて元から帰朝するとき、林和靖の末裔林浄因という者を連れて帰国した。この人が日本に帰化して奈良に住み、妻をめとって饅頭屋を開き、初めて奈良饅頭をつくった。浄因五世の孫に饅頭屋宗二（林逸）という。『源氏物語林逸抄』、饅頭屋本と呼ばれる『節用集』はこの人の著作である。宗二の孫紹伴は、菓子の研究に明に渡り、数年して帰ると、一時、三河國塩瀬村に住んでいたが、京に出て烏丸通りで饅頭をつくった。これが塩瀬饅頭である。（中略）紹伴は時の将軍足利義政に饅頭を献じたところ、将軍から『日本第一饅頭所』の看板を賜ったとされている」
としたとあるところから見ると、
唐音、
ではなく、
宋音、
の「アン」ではないか、と思われる。ただ、「菓子」（http://ppnetwork.seesaa.net/article/474306504.html）で触れた、倭名類聚抄に載る、
八種唐菓子（やくさからがし）、
のひとつ、
団喜（だんき）、
は、これより古く、
小麦粉を練った皮で巾着（きんちゃく）形の福袋をつくり、中に甘葛煎（あまずらせん）で調味した桂皮や数種の木の実を詰め、ごま油で揚げたもの、
がある（日本大百科全書）。今日の餡にはほど遠いが、中国の月餅を考えれば、団喜の中身はまさに餡の祖型であった、といえる（仝上）。京都には「清浄歓喜団」（亀屋清永）と呼ばれる団喜が（江戸時代中期以降に現在のように小豆餡を包むようになったので、当初の団喜とは異なるが）現存しているが、いまは、
小麦粉の生地で小豆餡を茶巾状に包み胡麻油で揚げたもの、
となっていて（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%94%90%E8%8F%93%E5%AD%90）、寺院に奉納される他、和菓子として市販もされている、という。
なお、「あずき」については「豆」（http://ppnetwork.seesaa.net/article/473371197.html?1580864227）で触れた。
参考文献；
前田富祺編『日本語源大辞典』 （小学館）
大槻文彦『大言海』（冨山房）
ホームページ；http://ppnetwork.c.ooco.jp/index.htm
コトバの辞典；http://ppnetwork.c.ooco.jp/kotoba.htm#%E7%9B%AE%E6%AC%A1
スキル事典；http://ppnetwork.c.ooco.jp/skill.htm#%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%AB%E4%BA%8B%E5%85%B8
書評；http://ppnetwork.c.ooco.jp/critic3.htm#%E6%9B%B8%E8%A9%95
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