あまた人の子を肝煎るとて、其の生（うみ）の親のかたよりは、金銀をとりて、おのれが物とし、其の子は此の河へ流せしとかや（百物語評判）、
にある、
肝煎る、
とは、
あっせんする、
意とある（高田衛編・校注『江戸怪談集』）。
肝を煎る、
意とある（日本国語大辞典）。「肝を煎る」とは、
おもひきりしに来てみえて、きもをいらする、きもをいらする（「閑吟集（1518）」）、
と、
肝を煎り焼くようにつらい思いをする、
気をもむ、
意で（岩波古語辞典）、その意味の派生で、
肝を焦がす、
肝を焼く、
とも言い、
心をいら立てる、
心を悩ます、
腹を立てる、
意で使う（精選版日本国語大辞典）。「肝煎る」は、
胸を焦がす、同趣、
とある（大言海）のはその意味である。そこから転じて、
心づかいをする、
熱心になる、
意で使い、その派生から、
色々きもをいらせられて、御地走なされたる衆を（虎明本狂言「雁盗人（室町末‐近世初）」）、
兼々（かねがね）滝川に恋する者ありて、きもをいり、返事待（まつ）事あるが（浮世草子「好色一代男（1682）」）、
等々と、
間に立って骨を折る、
世話をする、
取り持つ、
の意で使う（岩波古語辞典・精選版日本国語大辞典）。
きもいる、
は、この意味の「肝を煎る」から出ている（仝上）。名詞「肝煎」が、
肝入、
とも当て、
室町時代や江戸時代の各種の団体の世話役、
の意で使い、室町時代の郷村や江戸時代の、
村の世話役、
村役人（庄屋・名主役）、
の意で使うのはこの意味の流れからきている。
肝煎る、
の語源が、
胸を焦がす意の肝煎る、
とする（大言海）のは意味があり、別に、
「肝を入れる」（とりもつこと）に由来する、
とする説（日本大百科全書）もあるが、
肝を入れるとする説は非、
とされ（上方語源辞典=前田勇）るように、もともと、
肝を煎る、
から派生した流れから見ると妥当に思える。
「肝」（カン）は、「肝胆」（http://ppnetwork.seesaa.net/article/492437841.html）で触れたように、
会意兼形声。干（カン）は、太い棒を描いた象形文字。幹（カン みき）の原字。肝は「肉＋音符干」で、身体の中心となる幹（みき）の役目をする肝臓。樹木で、枝と幹が相対するごとく、身体では、肢（シ 枝のようにからだに生えた手や足）と肝とが相対する、
とある（漢字源）。
形声文字です（月（肉）＋干）。「切った肉」の象形と「先がふたまたになっている武器」の象形（「おかす・ふせぐ」の意味だが、ここでは「幹」に通じ、「みき」の意味）から、肉体の中の幹（みき）に当たる重要な部分、「きも」を意味する「肝」という漢字が成り立ちました、
ともある（https://okjiten.jp/kanji291.html）。
「煎」（セン）は、
会意兼形声。前のりを除いた部分は、「止（あし）＋舟」の会意文字。前は、それに刀印を加えた会意兼形声文字で、もと、そろえてきること。剪（セン）の原字。表面をそろえる意を含む。煎は「火＋音符前」で、火力を平均にそろえて、なべの上のものを一様に熱すること、
とある（漢字源）。別に、
形声文字です（前＋灬（火））。「立ち止まる足の象形と渡し舟の象形と刀の象形」（「前、進む」の意味だが、ここでは、「刪（セン）」に通じ(同じ読みを持つ「刪」と同じ意味を持つようになって）、「分離する」の意味）と「燃え立つ炎」の象形から、「エキスだけを取り出す為によく煮る」、「いる（煮つめる、せんじる（煎茶）」を意味する「煎」という漢字が成り立ちました、
ともある（https://okjiten.jp/kanji2170.html）。
参考文献；
大野晋・佐竹 昭広・ 前田金五郎編『古語辞典 補訂版』（岩波書店）
大槻文彦『大言海』（冨山房）
ホームページ；http://ppnetwork.c.ooco.jp/index.htm
コトバの辞典；http://ppnetwork.c.ooco.jp/kotoba.htm#%E7%9B%AE%E6%AC%A1
スキル事典；http://ppnetwork.c.ooco.jp/skill.htm#%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%AB%E4%BA%8B%E5%85%B8
書評；http://ppnetwork.c.ooco.jp/critic3.htm#%E6%9B%B8%E8%A9%95
